思考题:找出不一样的球

问题描述：有12个球，其中有1个重量与其他11个不一样(其他11个都一样的)，问怎样才做到用天平只秤3次，就可以找到该不一样的球？

解答：

准备工作：将12个球分别从1到12编号，并将1到4号球分为A组，5到8号球分为B组，9到12号球分为C组，并设所要求的球为T。

在A、B、C中取出两组，不妨设是A、B，将其分别放到天平两边去秤。这里将出现3个结果：

1. 天平平衡
2. 天平倾向于A组(即A组较重)
3. 天平倾向于B组(即B组较重)

1.对于结果1：显然T在C中，即T为9、10、11、12中的其中一个。这时取C中的两个球，不妨设是9号和10号，分别放到天平两边秤：

(1.1)若平衡，则T在11和12当中，这时只要取11和12当中的一个，设取的是11号球，与正常的球(到这里1到10号球都是正常的球了)秤一秤，若平衡，则T为剩下的12号球，若不平衡，则T为11号球。

(1.2)若不平衡，则T在9和10当中，则1到8、11和12都是正常的球，而T在9和10当中。这里用上面的方法就可以找到T。

2.对于结果2：T自然是在A或B中。

这里再分一次组：从A中拿出两个球，从B中拿一个球放到一组a：设拿出的球分别是1、2、5号球；再分别从A、B、C中分别拿出一个球放到一组b：设拿出的是3、6、9；则剩下4、7、8为一组c。

将a与b放到天平两边去秤，结果有

• 平衡
• 倾向于a(即a组较重)
• 倾向于b(即b组较重)

(2.1)平衡，则T在c中，即T为4、7、8其中一个。

将4与7放在一组d与两个正常的球秤(这里球一定要分别属于A和B)：若平衡，则T为8号球；若倾向于4、7，则知T比正常的球要重，而知道天平本来倾向于A，即4不会比7轻，于是T为4号球；若倾向于正常的球，则到T比正常球要轻，又知7不会比4重，于是T为7号球。

(2.2)倾向于a：

假设5号球为T，则T比正常球要重，于是组A(1,2,3,4)比组B(5,6,7,8)要轻，矛盾；

假设3号球为T，则T比正常球要轻，于是组A(1,2,3,4)比组B(5,6,6,7)要轻，矛盾；

于是T为1、2、5其中一个。剩下按(2.1)

(2.3)倾向于b：

假设1号球或2号球为T，则T比正常球要轻，于是组A(1,2,3,4)比组B(5,6,7,8)要轻，矛盾；

假设6号球为T，则T比正常球要重，于是组A(1,2,3,4)比组B(5,6,6,7)要轻，矛盾；

于是T为3、5其中一个。这时只要取3和5其中的一个与正常的球秤一秤，若平衡，则T为剩下的球，若不平衡，则T为取出的球。

3.对于结果3：方法与2一样。

其实这个问题在大一上课的时候就遇到了，当时有同学给出了解答，于是没认真考虑就过了。前几天再次看到这个问题，想了半个小时才把问题给解决了，原来这问题并不简单。